Megoldhatták a „megoldhatatlan” matematikai rejtvényt

Leonhard Euler svájci matematikus és fizikus híres rejtvénye, amely a katonatisztek hatszoros elrendezését igényli, mindeddig megoldhatatlannak bizonyult. Egy friss tanulmány új szemszögből közelítette meg a feladványt, és Euler számrejtvényét kvantummá változtatta.

Leonhard Euler 1779-ben feltett egy rejtvénykérdést, amely azóta híressé vált, ugyanis eddig senki sem tudta megoldani – írta a Quanta magazinra hivatkozva a Hirado.

Hat katonai ezrednek hat különböző rangú tisztje van. El lehet-e helyezni a 36 tisztet egy 6×6-os négyzetben úgy, hogy egyetlen sor vagy oszlop se ismételje meg a rangot vagy az ezredet?

Az ez és az ehhez hasonló rejtvények már több, mint 2000 éve lenyűgözik az embereket. Szerte a világon készültek „varázsnégyzetek”, számtömbök, amelyek minden oszlopban és sorban ugyanazt az eredményt adják, és latin négyzet, amik olyan szimbólumokat tartalmaznak, amelyek soronként és oszloponként egyszer jelennek csak meg. Az egyik népszerű latin négyzet a szúdoku.

Euler rejtvénye egy olyan modell, amelyben két tulajdonságkészlet jelenik meg, a rangoknak és ezredeknek egyszerre kell megfelelniük a latin négyzet szabályainak.

A rejtvény öt vagy hét rendfokozat és ezredszámmal már könnyedén megoldható, de a matematikus hiába kereste a megoldást 36 tiszt esetére, nem találta, ezért arra a következtetésre jutott, hogy egy ilyen elrendezés lehetetlen, bár ezt sem tudta kétségkívül bizonyítani.

A rejtvény feltevése után több, mint egy évszázaddal egy francia matematikus, Gaston Tarry bebizonyította, hogy Euler 36 tisztjét nem lehet ismétlés nélkül elrendezni egy 6×6-os négyzetben.

1960-ban számítógépes bizonyítást is nyert a rejtvény megoldhatatlansága. Matematikusok bebizonyították, hogy létezik megoldás a kettőnél nagyobb ezredek és rangok bármelyikére, kivéve a hatot.

A közelmúltban azonban benyújtottak egy tanulmányt a Physical Review Letters című folyóirathoz.

A tanulmányban az indiai és lengyel kvantumfizikusokból álló csoport bebizonyította, hogy lehetséges 36 tisztet elrendezni a 6×6-os négyzetben, amennyiben a tisztek a rangok és ezredek terén kvantumkeverékek lehetnek.

A kvantumrejtvény új korszaka 2016-ban kezdődött, amikor Jamie Vicary és tanítványa, Ben Musto kitalálták, hogy a latin négyzetekben (n x n-es táblázat, melynek soraiban és oszlopaiban n különböző elem minden sorban és oszlopban egyszer fordulhat elő) megjelenő szimbólumokat kvantummá lehet alakítani.

Az elméleti fizikusok és matematikusok közössége hamar elfogadta a kvantum latin négyzeteket. Ettől vezérelve tavaly Ion Nechita és Jordi Pillet francia matematikai fizikusok létrehozták a szúdoku kvantumos változatát, a SudoQ-t. A SudoQ-ban a 0-tól 9-ig terjedő egész számok helyett a sorok, oszlopok és alnégyzetek mindegyike kilenc egymásra merőleges vektorral rendelkezik.

A kvantumrejtvény fellendülése vezérelte Adam Burchard lengyel kutatót és kollégáit arra, hogy Euler 36 tisztes rejtvényét újravizsgálják.

A rejtvény eredeti változatában minden egyes elem egy tiszt, aki egy adott ranggal és ezreddel rendelkezik. Hasznos, ha a 36 tisztet színes sakkfigurákként képzeljük el, akiknek rangja lehet király, királynő, bástya, püspök, lovag vagy gyalog, és akiknek ezredét piros, narancssárga, sárga, zöld, kék vagy lila jelöli.

A kvantumváltozatban a tiszteket rangok és ezredek egymásra helyezésével alakítják ki. A tisztek rangja és ezrede szuperpozícióból áll össze, tehát egy tiszt lehet például vörös király és narancssárga vezér egyben.

Az elmélet kritikus része, hogy a tiszteket alkotó kvantumállapotok olyan összefonódó kapcsolatban állnak, ami a különböző entitások közötti korrelációt jelenti.

Például, ha egy vörös király egy narancssárga királynővel van összefonódva, akkor még ha a két fél több ezred szuperpozíciójában is benne van, ha megfigyeljük, hogy a király vörös, akkor a tanulmány szerint abból rögtön kiderül, hogy a királynő narancssárga. Az összefonódás sajátos természete miatt megfigyelhető az is, hogy az egyes sorok mentén levő tisztek mind merőlegesek lehetnek egymásra.

Az elmélet bizonyításához a kutatóknak építeniük kellett egy kvantumtisztekkel teli 6×6-os modellt. A kutatók beillesztettek egy majdnem-megoldást a számítógépes rendszerbe, majd algoritmust alkalmaztak a kódolásra. Az algoritmust újra és újra lefuttatták a kutatók, végül pedig eljutottak egy olyan pontra, ahol már látták és megértették a pontos mintát, a maradék üres helyet pedig kézzel kitöltötték.

Suhail Rather fizikus, a tanulmány társszerzője szerint a megoldásuk egyik talán legmeglepőbb tulajdonsága az volt, hogy a tiszti rangok csak a velük szomszédos rangjelzésekkel, valamint az ezredek a velük szomszédos ezredekkel fonódtak össze.

A fizikus elmondta, hogy a másik meglepetés a kvantum latin négyzet elemeiben megjelenő együtthatók voltak. Érdekes módon az algoritmus által megtalált együtthatók aránya Φ, azaz 1,618…, vagyis a híres aranymetszés.

Az új kutatás azt bizonyítja, hogy ha van egy négy összegabalyodott kockából álló készlet, nem pedig érmék, akkor ezek maximálisan összegabalyodhatnak.

A hatoldalú dobókocka elrendezése megegyezik a 6×6 kvantum latin négyzetével. A kutatók a „Golden AME” („Arany AME”) nevet adták a megoldásnak.